Question

【題目】已知f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ ；g（x）=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ；設函數F（x）=[f（x+3）]2015[g（x﹣4）]2016 ， 且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則b﹣a的最小值為（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ ，∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2014
=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2012）+x2014
當x=﹣1時，f′（x）=2×1007+1=2015＞0，
當x≠﹣1時，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2012）+x2014
=（1﹣x） +x2014
= ＞0，
∴f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ 在R上單調遞增，
∴f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，
∴函數f（x）在（﹣1，0）內有唯一零點，
由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，
∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零點．
∴[f（x+3）]2015在（﹣4，﹣3）上有唯一零點，
∵g（x）=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ，
∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2015
=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2015]
=﹣f′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調遞減，
又g（1）=1﹣1 ＞0，
g（2）= ＜0，
當n≥2時， = ＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零點，
由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零點．
∴[g（x﹣4）]2016在（5，6）上有唯一零點．
∵F（x）=[f（x+3）]2015[g（x﹣4）]2016 ，
∴F（x）的零即為[f（x+3）]2015和[g（x﹣4）]2016的零點．
∴F（x）的零點區間為（﹣4，﹣3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．
故選：C．