【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸交于點D，且有|FA|=|FD|，當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形
（1）求C的方程
（2）延長AF交拋物線于點E，過點E作拋物線的切線l1 ， 求證：l1∥l．
【答案】
（1）解：拋物線的焦點F（ 
，0），設D（t，0），則FD的中點為（ 
，0）．
∵|FA|=|FD|，∴3+ =|t﹣ |，解得t=3+p或t=﹣3（舍）．
∵ =3，∴ 
，解得p=2．
∴拋物線方程為y2=4x
（2）解：由（1）知F（1，0），設A（ 
，m）（m≠0），D（xD，0），
∵|FA|=|FD|，則|xD﹣1|= +1，由xD＞0得xD= +2，即D（ +2，0）．
∴直線l的斜率為kAD=﹣ 
．
設l1：y=kx+n（k≠0）與拋物線相切，代入可得ky2﹣4y+4n=0，△=0，所以E（ 
， 
），
∵A，F，E三點共線，∴m（ ﹣1）= 
，
解得k= 
或k=﹣ ．
k= ，E與A重合，舍去，
∴k=﹣ ，
∴l1∥l．
【解析】（1）根據等邊三角形的性質可知A點橫坐標為FD的中點橫坐標，列出方程解出p．（2）根據|FA|=|FD|列出方程得出A，D橫坐標的關系，從而得出l的斜率，設l1方程，與拋物線方程聯立，由判別式△=0得出l的截距與A點坐標的關系，求出E點坐標，利用A，F，E三點共線，即可證明結論．
活力課時同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖：一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個半徑為x的內接圓柱． 
（1）試用x表示圓柱的體積；
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大值是多少．
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【題目】已知函數f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整數x0 ， 使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax，（e為自然對數的底數）． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）=3x+m3﹣x為奇函數．
（1）求函數g（x）=f（x）﹣ 
的零點；
（2）若對任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分別是AA1 ， B1C1上的點，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q． 
（1）求證：PQ∥平面ABC1；
（2）若AB=AA1 ， BC=3，AC1=3，BC1= 
，求證：平面ABC1⊥平面AA1C1C．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（ 
）的值；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數y=sinx的圖象上所有的點向右平行移動 
個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式是（ ）
A.y=sin（2x ）
B.y=sin（2x 
）
C.y=sin（ 
x ）
D.y=sin（ x 
）
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