Question

【題目】設函數f（x）=|ax﹣x2|+2b（a，b∈R）．
（1）當a=﹣2，b=﹣ 時，解方程f（2x）=0；
（2）當b=0時，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若a為常數，且函數f（x）在區間[0，2]上存在零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣2，b=﹣ 時，f（x）=|x2+2x|﹣15，所以方程即為：|2x（2x+2）|=15

解得：2x=3或2x=﹣5（舍），所以x=

（2）解：當b=0時，若不等式：x|a﹣x|≤2x

在x∈[0，2]上恒成立；

當x=0時，不等式恒成立，則a∈R；

當0＜x≤2時，則|a﹣x|≤2，

在[0，22]上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在（0，2]上恒成立，

因為y=x﹣a在（0，2]上單調增，ymax=2﹣a，ymin=﹣a，則 ，解得：0≤a≤2；

則實數a的取值范圍為[0.2]

（3）解：函數f（x）在[0，2]上存在零點，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解；

設h（x）=

當a≤0時，則h（x）=x2﹣ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上單調增，

所以h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

則當 0≤﹣2b≤4﹣2a時，原方程有解，則a﹣2≤b≤0；

當a＞0時，h（x）= ，

h（x）在[0， ]上單調增，在[ ]上單調減，在[a，+∞）上單調增；

①當 ，即a≥4時，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

則當則當0≤﹣2b≤2a﹣4時，原方程有解，則2﹣a≤b≤0；

②當 ，即2≤a＜4時，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（ ）= ，

則當0≤﹣2b≤ 時，原方程有解，則﹣ ；

③當0＜a＜2時，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=max{h（2），h（ ）=max{4﹣2a， }

當 ，即當﹣4+4 ≤a＜2時，h（x）max=

，則當0≤﹣2b≤ 時，原方程有解，則 ；

當 ，即則0 時，h（x）max=4﹣2a，

則當0≤﹣2b≤4﹣2a時，原方程有解，則a﹣2≤b≤0；

綜上，當0＜a＜﹣4+4 時，實數b的取值范圍為[a﹣2，0]；

當﹣4+4 ≤a＜4時，實數b的取值范圍為[ ]；

當a≥4時，實數b的取值范圍為[2﹣a，0]

【解析】（1）解：（1）原方程即為：|2x（2x+2）|=15，解得2x即可，（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）﹣2x）max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘（3）函數f（x）在[0，2]上存在零點，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解，分類求出設h（x）= 的值域即可．