Question

【題目】已知a∈R，當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（ +a）．
（1）若函數(shù)f（x）過點（1，1），求此時函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+2log2x只有一個零點，求實數(shù)a的范圍；
（3）設(shè)a＞0，若對任意實數(shù)t∈[ ，1]，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最大值與最小值的差不大于1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a∈R，當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（ +a）．

函數(shù)f（x）過點（1，1），

∴f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，

∴此時函數(shù)f（x）=log2（ +1）（x＞0）．

（2）解：g（x）=f（x）+2log2x= +2log2x=log2（x+ax2），

∵函數(shù)g（x）=f（x）+2log2x只有一個零點，

∴g（x）=f（x）+2log2x=log2（x+ax2）=0

∴（ +a）x2=1化為ax2+x﹣1=0

∴h（x）=ax2+x=1在（0，+∞）上只有一個解，

∴當(dāng)a=0時，h（x）=x﹣1，只有一個零點，可得x=1；

當(dāng)a≠0時，h（x）=ax2+x﹣1在（0，+∞）上只有一個零點，

當(dāng)a＞0時，成立；

當(dāng)a＜0時，令△=1+4a=0解得a=﹣ ，可得x=2．

綜上可得，a≥0或a=﹣ ．

（3）解：f（x）= ，

f′（x）=﹣ ，

當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在[t，t+1]上的最大值與最小值分別是f（t）與f（t+1），

由題意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，

∴ ≤2，

整理，得a≥ ，

設(shè)Q（t）= ，

Q′（t）= ，

當(dāng)t∈[ ，1]時，Q′（t）＜0，

則a≥Q（t），∴a≥Q（ ），解得a≥ ．

∴實數(shù)a的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）由f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，由此能求出此時函數(shù)f（x）的解析式．（2）g（x）=log2（x+ax2），由函數(shù)g（x）只有一個零點，從而h（x）=ax2+x=1在（0，+∞）上只有一個解，由此能求出a．（3）f（x）= ， ，由題意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，從而a≥ ，設(shè)Q（t）= ，Q′（t）= ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．