Question

【題目】已知橢圓的離心率為，四個頂點構成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題設知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2）①，則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實根，故，即可證明結果；②考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上.

由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點.

試題解析：（1）由題設知， ， ，又，

解得.

故所求橢圓的方程是.

（2）①，則有，化簡得，

對于直線，同理有，

于是是方程的兩實根，故.

考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上.

由，得，于是有.

直線的斜率為，

直線的方程為，

令，得，

故直線過定點.