Question

【題目】已知二次函數（其中）滿足下列3個條件:

①函數的圖象過坐標原點；

②函數的對稱軸方程為；

③方程有兩個相等的實數根，

令.

（1）求函數的解析式；

（2）求使不等式恒成立的實數的取值范圍；

（3）已知函數在上的最小值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用f（0）=0求出c．通過函數的對稱軸，得到a=b，通過方程f（x）=x有兩個相等的實數根，即可求函數f（x）的表達式；

（2）不等式恒成立,即，即．

（3），討論對稱軸與區間端點的關系，明確函數的最小值，求出實數的值.

試題解析：

解： (1)由題意得，即.

∵函數的對稱軸方程為，∴，即.

∴，

∵方程僅有一根，即方程僅有一根，

又

∴ ，即，即．

∴．

(2) 又

又不等式img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/18/b2dfd3c7/SYS201712291823161438430040_DA/SYS201712291823161438430040_DA.026.png" width="68" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />恒成立

即不等式恒成立

解得.

(3)

則函數的對稱軸方程為

①當時，函數在上單調遞增.

即，解得，故舍去.

②當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

即，解得（舍去）

③當時，函數在上單調遞減

即，解得.

綜上： .