Question

【題目】定義在上的函數，如果對任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數.

（）若函數為二階伸縮函數，且當時， ，求的值.

（）若為三階伸縮函數，且當時， ，求證：函數在上無零點.

（）若函數為階伸縮函數，且當時， 的取值范圍是，求在上的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）當x∈（1，2]時， ，從而f（）=，由此能求出函數f（x）為二階伸縮函數，由此能求出的值．

（Ⅱ）當x∈（1，3]時， ，由此推導出函數在（1，+∞）上無零點．

（Ⅲ）當x∈（kn，kn+1]時， ，由此得到，當x∈（kn，kn+1]時，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．

試題解析：

（Ⅰ）由題設，當x∈（1，2]時，，

∴．

∵函數f（x）為二階伸縮函數，

∴對任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．

∴．

（Ⅱ）當x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時，．

由f（x）為三階伸縮函數，有f（3x）=3f（x）

∵x∈（1，3]時，．

∴．

令，解得x=0或x=3m，它們均不在（3m，3m+1]內．

∴函數在（1，+∞）上無零點．

（Ⅲ） 由題設，若函數f（x）為k階伸縮函數，有f（kx）=kf（x），

且當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1）．

∴當x∈（kn，kn+1]時，．

∵，所以．

∴當x∈（kn，kn+1]時，f（x）∈[0，kn）．

當x∈（0，1]時，即0＜x≤1，

則k（k≥2，k∈N*）使，

∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．

又，∴，即．

∵k≥2，

∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．