Question

【題目】已知函數f(x)＝(ax－2)ex在x＝1處取得極值.

(1)求a的值；

(2)求函數在區間[m，m＋1]上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）f(x)min＝．

【解析】

（1）f′（x）=aex+（ax﹣2）ex=（ax+a﹣2）ex，由此利用導數性質能求出a=1．

（2）由f（x）=（x﹣2）ex，得f′（x）=ex+（x﹣2）ex=（x﹣1）ex．由f′（x）=0，得x=1，由此列表討論，能求出f（x）在[m，m+1]上的最小值．

解　(1)f′(x)＝(ax＋a－2)ex，

由已知得f′(1)＝(a＋a－2)e＝0，

解得a＝1，經檢驗a＝1符合題意，

所以a的值為1.

(2)由(1)得f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex.

令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得x<1.

所以函數f(x)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增.

當m≥1時，f(x)在[m，m＋1]上遞增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)em，

當0<m<1時，f(x)在[m，1]上遞減，在(1，m＋1]上遞增，f(x)min＝f(1)＝－e.

當m≤0時，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上單調遞減，

f(x)min＝f(m＋1)＝(m－1)em＋1.

綜上，f(x)在[m，m＋1]上的最小值為

f(x)min＝．