Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的對稱點為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點（1，0）．

【解析】

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，橢圓的幾何性質，以直線與橢圓的位置關系的綜合運用．

（1）因為因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.，得到a,c關系，進而解得方程．

（2）設直線x=my+4與橢圓方程聯立，得到關于x的一元二次方程，然后我們借助于根與系數的關系，來表示定點T的坐標，進而得到結論．

解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.

所以，解得所以橢圓的標準方程為

（Ⅱ）設直線：與聯立并消去得：

.

記，，，.

由A關于軸的對稱點為，得，根據題設條件設定點為（，0），

得，即.

所以

即定點（1 ， 0）