Question

【題目】已知點，點是圓上的動點，為線段的中點，為線段上點，且，設動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）直線與曲線相交于、兩點，與圓相交于另一點，且點、位于點的同側，當面積最大時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的方程；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據中垂線的概念，可得，然后根據橢圓的定義，可得結果.

（Ⅱ）根據面積最大，找到點，得到直線方程，然后聯立橢圓的方程，計算，同時利用圓的弦長公式計算，根據，可得結果.

（Ⅰ）由題可知：圓

圓心，半徑為

又為線段的中點，在上且

所以為的中垂線，所以

又

所以點的軌跡為橢圓，

設曲線的方程

則

由

所以曲線的方程

（Ⅱ）如圖

假設點在軸上方，設點

當面積最大時，則軸

所以點

則直線方程為：，即

點到直線的距離為

所以

所以

所以