Question

【題目】如圖所示，底面為菱形的直四棱柱被過三點的平面截去一個三棱錐(圖一)得幾何體(圖二)，E為的中點．

(1)點F為棱上的動點，試問平面與平面是否垂直?請說明理由；

(2)設，當點F為中點時，求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)利用直四棱柱的幾何特征可知 ，B1D1⊥平面CEA1，從而平面平面CEA1 ；(2) 分別以所在直線為軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出平面與平面F的法向量，代入公式即可得到銳二面角的余弦值．

（1）平面平面，證明如下：

連接AC，BD相交于點O，

因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

又因為直四棱柱上下底面全等，

所以由AC⊥BD得，

又因為CB=CD，，

所以CB1=CD1.

因為E為B1D1的中點，所以，

又，所以B1D1⊥平面CEA1，

又因為平面，

所以平面平面CEA1.

（2）連接OE，易知OE⊥平面ABCD，所以OB，OC，OE兩兩互相垂直，

所以分別以所在直線為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則O（0，0，0），.（7分）

設平面的法向量為，則

，

令

所以.

同理設平面F的法向量為，則

，

令.

所以，

所以

,

所以所求的銳二面角的余弦值為