Question

【題目】已知數列的前n項和為，且()．

（1）求；

（2）設函數，()，求數列的前n項和；

（3）設為實數，對滿足且的任意正整數m，n，k，不等式 恒成立，試求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知得an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；

（2）由已知得c1＝f（6）＝f（3）＝a3＝5c2＝f（8）＝f（4）＝f（2）＝f（1）＝a1＝1；當n≥3時，cn＝f（2n+4）＝f（2n﹣1+2）＝f（2n﹣2+1）＝2（2n﹣1+1）﹣1＝2n﹣1+1，由此能求出數列{cn}的前n項和Tn；

（3）由已知得m2d2+n2d2＞ck2d2，λ恒成立．由此能求出λ的最大值．

（1）當時，.

當時，，滿足上式，所以；

（2）由分段函數可以得到：

，

，

當，時，

，

故當，時，

,

，

所以；

（3）由，及得，

∵，∴，

∵，∴，

要恒成立，只要，∴的最大值為.