Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB．

（1）已知AB=BC，AE=EC，求證：AC⊥FB；
（2）已知G，H分別是EC和FB的中點，求證：GH∥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖所示，

∵D是AC的中點，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，

∴BD⊥AC，ED⊥AC．

∵EF∥DB，∴E、F、B、D四點共面，這樣，AC垂直于平面EFBD內的兩條相交直線ED、BD，

∴AC⊥平面EFBD．

顯然，FB平面EFBD，∴AC⊥FB

（2）

解：已知G，H分別是EC和FB的中點，再取CF的中點O，則OG∥EF，∵OG∥BD，

∴OG∥BD，而BD平面ABC，∴OG∥平面ABC．

同理，OH∥BC，而BC平面ABC，∴OH∥平面ABC．

∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

【解析】（1）由條件利用等腰三角形的性質，證得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直線和平面垂直的判定定理證得AC⊥平面EFBD，從而證得AC⊥FB．（2）再取CF的中點O，利用直線和平面平行的判定定理證明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，從而證得GH∥平面ABC．；本題主要考查直線和平面垂直的判定和性質，直線和平面平行的判定與性質，屬于中檔題．