Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，直線l：x+y﹣1=0與C相交于A，B兩點．
（1）證明：線段AB的中點為定點，并求出該定點坐標；
（2）設M（1，0）， ，當 時，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由離心率為 ，得a2=3b2．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，消去y得4x2﹣6x+3（1﹣b2）=0

故 ， ，

所以 ， ．

故線段AB的中點為定點 ．

（2）解：M（1，0）， ，得x1﹣1=λ（1﹣x2）．

結合 解得 ， ．

由 得 ．

因為 ，故 ，

從而 ．

解得

【解析】（1）由離心率得a2=3b2 ． ，聯立 ，得4x2﹣6x+3（1﹣b2）=0，由此利用韋達定理能證明線段AB的中點為定點，并能求出該定點坐標．（2）由 ，得x1﹣1=λ（1﹣x2），從而 ，由此能求出實數λ的取值范圍．