Question

【題目】有一塊圓心角為120度，半徑為的扇形鋼板(為弧的中點)，現要將其裁剪成一個五邊形磨具，其下部為等腰三角形，上部為矩形.設五邊形的面積為.

（1）寫出關于的函數表達式，并寫出的取值范圍；

（2）當取得最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】(1) S＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）(2)

【解析】

(1)根據直角三角形解得矩形的長與寬以及等腰三角形的底與高，再根據矩形面積公式以及三角形面積公式求結果，最后根據實際意義確定的取值范圍；(2)利用導數求函數最值.

（1）如圖，設OP與CD、AB交于M，N兩點，

為弧的中點，則M為CD中點，OP⊥AB，

OM＝OCcosα＝Rcosα，CM＝OCsinα=Rsinα，則EF＝CD＝2CM＝2Rsinα

∠POB＝∠AOB＝60°，∠OBN＝30°，

所以，ON＝OB＝R，

CF＝MN＝OM－ON＝Rcosα－R

所以，S＝CDCF+EFON＝2Rsinα×（Rcosα－R）+×2Rsinα×R

　　　　＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）

（2）設f（α）＝sinα（4cosα－1），則

＝＝0

因為0＜α＜，所以，

由表可，當S取得最大值時，