Question

【題目】過點（0，2）的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為 的橢圓C相交于A、B兩點，直線 過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱．
（1）求直線l的方程；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= = ，得 ，從而a2=2b2，c=b，

設橢圓方程為x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，

則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，

=﹣

設AB中點為（x0，y0），則kAB=﹣

又（x0，y0），在直線 上， ，于是：

kAB=﹣ =﹣1，則直線l的方程為y=﹣x+2

（2）解：右焦點（b，0）關于直線l的對稱點設為：（x′，y′），

則 解得 ，

由點（2，2﹣b）在橢圓上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2= ，a2= ，

∴所求橢圓C的方程的方程為：

【解析】本題求直線l的方程關鍵在于求直線的斜率，根據題意設出橢圓方程，并設出點A，B及線段AB中點的坐標，利用點A，B在橢圓上得到用線段AB中點坐標表示的直線l的斜率，結合該中點在直線上即可求得直線l的斜率；（2）橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，那么右焦點與其對稱點所在的直線與直線l互相垂直即兩直線斜率積為-1，而且右焦點與其對稱點組成的線段的中點在直線l上.
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．