Question

【題目】已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）與雙曲線C2： =1（a＞0．b＞0）有公共焦點F，且在第一象限的交點為P（3，2 ）．
（1）求拋物線C1 ， 雙曲線C2的方程；
（2）過點F且互相垂直的兩動直線被拋物線C1截得的弦分別為AB，CD，弦AB、CD的中點分別為G、H，探究直線GH是否過定點，若GH過定點，求出定點坐標；若直線GH不過定點，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：P（3，2 ）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴拋物線C1：y2=8x；

焦點F（2，0），則 ，∴a=1，b= ，∴雙曲線C2的方程 =1

（2）解：設點A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）

把直線AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：

k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+ ，y3=k（x3﹣2）= ，

同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，

∴kGH= ，

∴直線GH為y﹣ = （x﹣2﹣ ），即y= （x﹣3），過定點P（3，0）

【解析】（1）P（3，2 ）代入拋物線C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出拋物線方程．焦點F（2，0），則 ，求出a，b，可得雙曲線C2的方程；（2）欲證明直線GH過定點，只需求出含參數的直線GH的方程，觀察是否過定點即可．設出A，B，G，H的坐標，用A，B坐標表示G，H坐標，求出直線GH方程，化為點斜式，可以發現直線必過點（3，0）．