Question

（12分）已知橢圓C：以雙曲線的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

（1）（2）①證明見解析②

試題分析：(1)易知雙曲線的焦點為(－2,0)，(2,0)，離心率為，……2分
則在橢圓C中a＝2，e＝，
故在橢圓C中c＝，b＝1，所以橢圓C的方程為               ……4分
(2)①設M(x₀，y₀)(x₀≠±2)，由題易知A(－2,0)，B(2,0)，
則k_MA＝，k_MB＝，故k_MA·k_MB＝＝，        ……6分
點M在橢圓C上，則，即，
故k_MA·k_MB＝，即直線MA，MB的斜率之積為定值。                      ……8分
②解法一：設P(4，y₁)，Q(4，y₂)，則k_MA＝k_PA＝，k_MB＝k_BQ＝，……9分
由①得，即y₁y₂＝－3，當y₁>0，y₂<0時，|PQ|＝|y₁－y₂|≥2 ＝，當且僅當y₁＝，y₂＝－時等號成立．……11分
同理，當y₁<0，y₂>0時，當且僅當，y₂＝時，|PQ|有最小值. ……12分
解法二：設直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y＝k(x＋2)，從而P(4,6k) ……9分
由①知直線MB的斜率為，則直線MB的方程為y＝(x－2)，
故得，故，當且僅當時等號成立，
即|PQ|有最小值.                                                  ……12分
點評：直線與圓錐曲線位置關系的題目是每年高考必考的題目，且一般都以壓軸題的形式出現，所以難度較大，關鍵是運算量比較大，要盡量應用數形結合簡化運算，還要細心求解.