Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間和極值；

（2）證明：當時，；

（3）若對任意恒成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調遞減，在上單調遞增，有極小值，無極大值， (2) =

【解析】

試題（1），求得在上單調遞減，在上單調遞增，有極小值，無極大值；（2）原不等式即，記，則，通過求導得在上單調遞減，有，又，得證；（3）構造函數，則（），分類討論得，，則只能等于.

試題解析：

（1），，

在上單調遞減，在上單調遞增，有極小值，無極大值.

（2）原不等式即，記，則.

當時，，得在上單調遞減，有

而由（1）知，，得證.

（3）即.

記，則對任意恒成立，

求導得（）

若，則，得在上單調遞增，又，故當時，，不合題意；

若，則易得在上單調遞增，在單調遞減.

依題意有，

由（1）知，則只能等于.