Question

【題目】已知點在曲線上，⊙過原點，且與軸的另一個交點為，若線段，⊙和曲線上分別存在點、點和點，使得四邊形（點， ， ， 順時針排列）是正方形，則稱點為曲線的“完美點”．那么下列結論中正確的是（ ）．

A. 曲線上不存在”完美點”

B. 曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于

C. 曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于且小于

D. 曲線上存在兩個“完美點”，其橫坐標均大于

Answer 1

【答案】B

【解析】如圖，如果點為“完美點”則有，以為圓心， 為半徑作圓（如圖中虛線圓）交軸于， （可重合），交拋物線于點， 當且僅當時，在圓上總存在點，使得為的角平分線，即，利用余弦定理可求得此時，即四邊形是正方形，即點為“完美點”，如圖，結合圖象可知，點一定是上方的交點，否則在拋物線上不存在使得， 也一定是上方的點，否則， ， ， ， 不是順時針，再考慮當點橫坐標越來越大時， 的變化情況：

設，當時， ，此時圓與軸相離，此時點不是“完美點”，故只需要考慮，當增加時， 越來越小，且趨近于，而當時， ；故曲線上存在唯一一個“完美點”其橫坐標大于．故選．