Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。

證明：（1）直線EE//平面FCC；

（2）求二面角B-FC-C的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析：（1）以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得設(shè)平面CC1F的法向量為， ，由得直線EE//平面FCC；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，先求出兩個平面的法向量，則兩個平面的法向量的夾角即為兩平面的二面角或其補(bǔ)角．

試題解析：

解法（1）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以

,,

設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.

（2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,

,,

所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.