Question

【題目】如圖，已知面垂直于圓柱底面， 為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點(diǎn)， ． 求證：

（1）；

（2）求幾何體的最大體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，先證明BC⊥平面AA1C，再證得平面AA1C⊥平面BA1C；（2）由于是固定的，且,所以當(dāng)C點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，幾何體的體積有最大值。

試題解析：（1）證明：因?yàn)镃是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，AB是底面圓的直徑，

所以AC⊥BC．

因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以AA1⊥BC，

而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．

又BC平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．

（2）解：在Rt△ABC中，當(dāng)AB邊上的高最大時(shí)，三角形ABC面積最大，

此時(shí)AC=BC.

此時(shí)幾何體取得最大體積.

則由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得，

所以體積為 ．