Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 = ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， 所以（2c﹣b）cosA=acosB
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB．
整理得2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB．
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴ ， ．
（Ⅱ）由余弦定理 ， ．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，當且僅當b=c時取“=”．
∴三角形的面積 ．
∴三角形面積的最大值為 ．
【解析】（I）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式，根據三角形內角的關系，得到結果．（II）利用余弦定理寫成關于角A的表示式，整理出兩個邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．