Question

已知頂點在原點O，焦點在x軸上的拋物線過點(3，

6

)．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線y=x-2交于A、B兩點，求證：k_OA•k_OB=-4．

Answer 1

（1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），則
∵拋物線過點(3，

6

)，∴6=2p×3，∴p=1，
∴拋物線的標準方程為y²=2x；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線y=x-2代入y²=2x，整理可得x²-6x+4=0
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

(x1-2)(x2-2)

x1x2

=

x1x2-4(x1+x2)+4

4

=-4．