Question

【題目】設是定義在上的函數，對任意實數，，都有，且當時，．

（1）證明:①；②當時，；③是上的增函數；

（2）設，試解關于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，，當時，，當時，.

【解析】

試題分析：（1）①利用賦值法，令，解得.②當時，，由已知得，利用，化簡得.③任取，由（1）（2）及已知條件知時，，且，所以函數為增函數；（2）先化簡，

即，即，對分類討論解集的情況.

試題解析：

（1）證明：（1）在中，令，

得即，∴或1，

若，則當時，有與題設矛盾，

∴；

（2）當時，，由已知得，

又，∴，

即時，；

（3）任取，由（1）（2）及已知條件知時，，

則，∵，∴，又因為，

∴，

∴在定義域上為增函數；

（2），

又，在上單調遞增，

∴原不等式等價于，

不等式可化為，

∴當，即時，；

當，即時，；

當，即時，．