Question

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）化簡(jiǎn)直線的極坐標(biāo)方程為，代入互化公式，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程，由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可求得得曲線的普通方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（Ⅰ）由直線的極坐標(biāo)方程為，可得，

將，代入上式，可得直線的直角坐標(biāo)方程為，

由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得（為參數(shù)），

平方相加，可得曲線的普通方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)到直線：的距離為（其中）.

當(dāng)時(shí)，取最大值，且的最大值為.