Question

【題目】已知.

（1）求的解析式；

（2）求時，的值域：

（3）設，若對任意的，總有恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時的值域為；當時的值域為；（3）.

【解析】

（1）使用換元法令即可得解；

（2）令，則，根據的取值結合一次函數、二次函數的性質即可得解.

（3）轉化條件為.令得，根據的范圍討論時函數的最值即可得解.

（1）設，則，所以

所以；

（2）設，，則，

所以

當時，，的值域為

當時，

若，對稱軸，的值域為，

若，對稱軸，在上單調遞增，在上單調遞減，的值域為.

綜上，當時的值域為；當時的值域為.

（3）化簡得，

對任意總有，

∴在滿足.

設，則，

當即時在區間單調遞增，

所以，即，所以，則

當時，下證函數在區間單調遞增：

任取,

,

∵，，

∴，∴，

又 ∴即函數在區間單調遞增，

又 時，恒成立，∴滿足要求.

綜上的取值范圍為.