Question

【題目】給定橢圓C： =1（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為 的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F（ ，0），其短軸上的一個端點到F的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1 ， l2交“準圓”于點M，N．
（ⅰ）當點P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求直線l1 ， l2的方程并證明l1⊥l2；
（ⅱ）求證：線段MN的長為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵橢圓C的一個焦點為F（ ，0），其短軸上的一個端點到F的距離為 ．

∴ ， ，

∴ =1，

∴橢圓方程為 ，

∴準圓方程為x2+y2=4．

（Ⅱ）證明：（ⅰ）∵準圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點為P（0，2），

設過點P（0，2）且與橢圓相切的直線為y=kx+2，

聯立 得（1+3k2）x2+12kx+9=0．

∵直線y=kx+2與橢圓相切，

∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，

∴l1，l2方程為y=x+2，y=﹣x+2．

∵ ，

∴l1⊥l2．

（ⅱ）①當直線l1，l2中有一條斜率不存在時，不妨設直線l1斜率不存在，

則l1： ，

當l1： 時，l1與準圓交于點 ，

此時l2為y=1（或y=﹣1），顯然直線l1，l2垂直；

同理可證當l1： 時，直線l1，l2垂直．

②當l1，l2斜率存在時，設點P（x0，y0），其中 ．

設經過點P（x0，y0）與橢圓相切的直線為y=t（x﹣x0）+y0，

∴由

得 ．

由△=0化簡整理得 ，

∵ ，∴有 ．

設l1，l2的斜率分別為t1，t2，

∵l1，l2與橢圓相切，

∴t1，t2滿足上述方程 ，

∴t1t2=﹣1，即l1，l2垂直．

綜合①②知：∵l1，l2經過點P（x0，y0），又分別交其準圓于點M，N，且l1，l2垂直．

∴線段MN為準圓x2+y2=4的直徑，|MN|=4，

∴線段MN的長為定值．

【解析】（Ⅰ）利用已知橢圓的標準方程及其 即可得出；（Ⅱ）（i）把直線方程代入橢圓方程轉化為關于x的一元二次方程，利用直線與橢圓相切△=0，即可解得k的值，進而利用垂直與斜率的關系即可證明；（ii）分類討論：l1，l2經過點P（x0，y0），又分別交其準圓于點M，N，無論兩條直線中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出線段MN為準圓x2+y2=4的直徑．