Question

【題目】已知在數列{an}中，設a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意的正整數m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．

（1）設數列{an}為等差數列，且公差為d，求的取值范圍；

（2）設數列{an}為等比數列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)＜﹣3；（2）a1q＞0

【解析】

（1）根據已知條件，由于數列是等差數列，運用等差數列的求和公式，建立不等式，進一步求出相應的結果；

（2）根據已知條件，由于數列是等比數列，運用等比數列的求和公式，建立不等式，進一步求出相應的結果．

在數列{an}中，設a1為首項，其前n項和為Sn，

若對任意的正整數m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，

（1）設{an}為等差數列，且公差為d，

則：2ma1+d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，

整理得：（m﹣n）2d＜0，則d＜0，由2S6＞S3，整理得：9a1+27d＞0，

則a1＞﹣3d，所以d＜0，＜﹣3；

（2）設{an}為等比數列，且公比為q（q＞0且q≠1），

則，整理得（2qm+n﹣q2m﹣q2n）＜0，

則：﹣（qm﹣qn）2＜0，所以＞0，由2S6＞S3，則：2q6﹣q3﹣1＜0

解得：﹣＜q3＜1，由于q＞0，所以：0＜q＜1，則：a1＞0．即有a1q＞0．