【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，橢圓
：
經過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點
是橢圓上的任意一點，射線
與橢圓交于點
，過點的直線
與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于
，
兩個相異點，證明：
面積為定值.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（1）根據橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據得到的式子求出
.
（2）當直線
斜率不存在時，易得
的面積，當直線斜率存在時，設為
，與橢圓
相切，得到
和
的關系，再由直線和橢圓聯立方程組，得到
、
，
利用弦長公式表示出
，再得到
和
的關系，由
到
的距離，得到
到的距離，從而計算出的面積.得到結論為定值.
（1）解：因為的離心率為
，
所以
，
解得
.①
將點
代入
，整理得
.②
聯立①②，得
，
，
故橢圓的標準方程為.
（2）證明：①當直線的斜率不存在時，
點
為
或
，由對稱性不妨取
，
由（1）知橢圓
的方程為
，所以有
.
將
代入橢圓的方程得
，
所以
.
②當直線的斜率存在時，設其方程為，
將代入橢圓的方程
得
，
由題意得
，
整理得
.
將代入橢圓的方程，
得
.
設
，
，
則
，
，
所以
.
設
，
，
，則可得
，
.
因為
，所以
，
解得
（
舍去），
所以
，從而
.
又因為點到直線的距離為
，
所以點到直線的距離為
，
所以
，
綜上，
的面積為定值
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，長軸長是短軸長的2倍.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
經過點
且與橢圓相交于
兩點（異于點
），記直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，證明：
為定值，并求出該定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數的.
（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；
（2）估計該公司投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區間中點值代表該組的取值）；
（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到下表：
廣告投入x（單位：萬元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y（單位：萬元） | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的數據顯示，x與y之間存在線性相關關系，請將（2）的結果填入上表的空白欄，并計算y關于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
,拋物線
上橫坐標為
的點到焦點
的距離為
.
(Ⅰ)求拋物線的方程及其準線方程;
(Ⅱ)過
的直線
交拋物線于不同的兩點
,交直線
于點
,直線
交直線
于點
. 是否存在這樣的直線,使得
? 若不存在,請說明理由;若存在,求出直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，定義橢圓
的“相關圓”方程為
．若拋物線
的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形．
(1)求橢圓的方程和“相關圓”
的方程；
(2)過“相關圓”上任意一點
的直線
與橢圓交于
兩點．
為坐標原點，若
，證明原點到直線
的距離是定值，并求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
,過橢圓右焦點的最短弦長是
,且點
在橢圓上.
（1）求該橢圓的標準方程;
（2）設動點
滿足:
,其中
,
是橢圓上的點,直線
與直線
的斜率之積為
,求點的軌跡方程并判斷是否存在兩個定點
、
,使得
為定值？若存在,求出定值;若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知直線
的方程為
，曲線
是以坐標原點
為頂點，直線為準線的拋物線.以坐標原點為極點，
軸非負半軸為極軸建立極坐標系.
（1）分別求出直線與曲線的極坐標方程：
（2）點
是曲線上位于第一象限內的一個動點，點
是直線上位于第二象限內的一個動點，且
，請求出
的最大值.
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