Question

【題目】如圖，在寬為的路邊安裝路燈，燈柱高為，燈桿是半徑為的圓的一段劣弧．路燈采用錐形燈罩，燈罩頂到路面的距離為，到燈柱所在直線的距離為．設為燈罩軸線與路面的交點，圓心在線段上．

（1）當為何值時，點恰好在路面中線上?

（2）記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)當為時，點在路面中線上；（2）

【解析】

（1）以O為原點，以OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求出PQ的方程，設C（a，b），根據CA＝CP＝r列方程組可得出a，b的值，從而求出r的值；

（2）用a表示出直線PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐標，從而可得出|HQ|關于a的函數，根據a的范圍和基本不等式得出|HQ|的最大值．

（1）以O為原點，以OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，8），P（2，10），Q（7，0），

∴直線PQ的方程為2x+y﹣14＝0．設C（a，b），則，

兩式相減得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，

∴．∴當時，點Q恰好在路面中線上．

（2）由（1）知a+b﹣10＝0，

當a＝2時，燈罩軸線所在直線方程為x＝2，此時HQ＝0．

當a≠2時，燈罩軸線所在方程為：y﹣10＝（x﹣2），

令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），

∵H在線段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．

∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，

當且僅當＝a即a＝時取等號．∴|HQ|的最大值為（12﹣）m．