Question

【題目】已知R，命題：對任意，不等式恒成立；命題：存在，使得成立.

（1）若為真命題，求的取值范圍；

（2）若且為假， 或為真，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）[1,2] （2）（－∞,1）∪（1,2]

【解析】試題分析：（1）由對任意，不等式恒成立，知，由此能求出的取值范圍；（2）存在，使得成立，推導出命題滿足，由且為假， 和為真，知、一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵對任意x∈[0,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,

∴（2x－2）min≥m2－3m．即m2－3m≤－2．解得1≤m≤2．

因此,若p為真命題時,m的取值范圍是[1,2]．

（2）存在x∈[－1,1],使得m≤x成立,∴m≤1,

命題q為真時,m≤1．∵p且q為假,p或q為真,

∴p,q中一個是真命題,一個是假命題．

當p真q假時,則解得1＜m≤2;

當p假q真時, 即m＜1．

綜上所述,m的取值范圍為（－∞,1）∪（1,2]．