Question

．設直線與拋物線交于不同兩點、，點為拋物線準線上的一點。
（I）若，且三角形的面積為4,求拋物線的方程；
（II）當為正三角形時，求出點的坐標。

Answer 1

（I）；（II） ， 

本試題主要是考查了直線與拋物線的位置關系的運用，求解拋物線的方程，以及正三角形中邊的關系的運用。
（1）利用直線方程與拋物線方程聯立，得到滿足三角形面積的參數p的值，得到拋物線方程。
（2）將含有參數t的直線與拋物線方程聯立，那么可知韋達定理中坐標的關系式，以及正三角形中邊的坐標關系，進而分析得到參數t的值和點D的坐標。
解：（I）直線過焦點
時，不妨設，則,
又點到直線的距離 
所以=4
拋物線的方程為                  …
…4分
（II）設
由得則
從而
線段AB的中點為             …………6分
由得,即，解得
從而
……10分


由得到= ， …………13分
解                …………14分
此時，點   …………15分