Question

【題目】某投資人欲將5百萬元資金投人甲、乙兩種理財產品，根據銀行預測，甲、乙兩種理財產品的收益與投入資金的關系式分別為，，其中為常數且．設對乙種產品投入資金百萬元．

（Ⅰ）當時，如何進行投資才能使得總收益最大；（總收益）

（Ⅱ）銀行為了吸儲，考慮到投資人的收益，無論投資人資金如何分配，要使得總收益不低于0.45百萬元，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）甲種產品投資4百萬元，乙種產品投資1百萬元時，總收益最大（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當時求出總收益的解析式，結合一元二次函數最值性質進行求解即可．

（Ⅱ）根據題意可知對任意恒成立，將問題轉化為即對任意恒成立，再利用換元法轉化為一元二次不等式恒成立求解．

（Ⅰ）設對乙種產品投入資金百萬元，則對甲種產品投入資金百萬元

當時，，

令，則，

，其圖象的對稱軸，

∴當時，總收益有最大值，此時，．

即甲種產品投資4百萬元，乙種產品投資1百萬元時，總收益最大

（Ⅱ）由題意知對任意恒成立，

即對任意恒成立，

令，

設，則，

則，其圖象的對稱軸為，

①當，即時，在單調遞增，在單調遞減，

且，

∴，得，又，

∴，

②當，即時，在單調遞增，在單調遞減，

且，可得，符合題意，

∴

③當，即時，易知在單調遞增，

可得恒成立，，

綜上可得．

∴實數的取值范圍是．