Question

【題目】橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上任一點， 為其右焦點， 是橢圓的左、右頂點，點滿足.

①證明： 為定值；

②設是直線上的任一點，直線分別另交橢圓于兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.證明見解析；②.3.

【解析】試題分析：（1）將點坐標代人橢圓方程，與離心率聯立方程組解得a.b,（2）①根據兩點間距離公式，代入橢圓方程化簡可得，再求比值即可，②先設，根據點斜式可得直線， 方程，分別與橢圓方程聯立解得兩點坐標，再根據焦半徑公式可得，最后根據基本不等式求最小值.

試題解析：（1）由得，

把點代入橢圓方程為，∴得，

∴，橢圓的標準方程為；

（2）由（1）知，

，

而，∴為定值；

②設若，則，

若，因為，

直線，直線，

由整理得，

∴，得，

由整理得，

∴，得，

由①知，

∴，

∵（當且僅當即時取等號）

∴，即的最小值為3.