Question

【題目】已知函數f（x）=loga （a＞0，a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值；
（3）設函數g（x）=﹣ax2+8（x﹣1）af（x）﹣5，a≥8時，存在最大實數t，使得x∈（1，t]時﹣5≤g（x）≤5恒成立，請寫出t與a的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數為奇函數，得到f（﹣x）=﹣f（x），即loga =﹣loga ，

整理得： = ，即1﹣m2x2=1﹣x2，

解得：m=﹣1

（2）解：由題設知：函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

∴①當n＜a﹣2≤﹣1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設知：f（x）在為增函數，

其值域為由（1，+∞）知 （無解）；

②當1≤n＜a﹣2時，有a＞3．由（1）及（2）題設知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數，

由其值域為（1，+∞）知 得a=2+ ，n=1

（3）解：由（1）及題設知：g（x）=﹣ax2+8（x﹣1）af（x）﹣5=﹣ax2+8x+3=﹣a（x﹣ ）2+3+ ，

則函數y=g（x）的對稱軸x= ，

∵a≥8，

∴x= ∈（0， ]，

∴函數y=g（x）在x∈（1，t]上單調減．

∴g（t）≤g（x）≤g（1），

∵t是最大實數使得x∈（1，t]恒有﹣5≤g（x）≤5成立，g（1）=11﹣a≤3＜5，g（1）﹣g（t）=11﹣a+at2﹣8t﹣3=（t﹣1）（at+a﹣8）＞0，

∴g（t）=﹣at2+8t+3=﹣5，即at2=8t+8

【解析】（1）利用奇函數的性質確定出m的值即可；（2）求出f（x）的定義域，分類討論x的范圍，根據f（x）的值域求出a與n值即可；（3）由f（x）解析式及題意，將g（x）解析式變形，利用二次函數性質確定出使得x∈（1，t]時﹣5≤g（x）≤5恒成立的最大實數t，并求出t與a的關系式即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．