Question

已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線l過點P且與C交于M、N兩點，當|MN|=4

3

時，求直線l的方程；
（2）求過點P的圓C的弦的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）分類討論，利用直線與圓相切，結合點到直線的距離公式，即可得到結論；
（2）利用P（0，5），C（-2，6）滿足：

PQ

⊥

CQ

，化簡即可得到結論．

解答：解：（1）①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：x=0，
由y²-12y+24=0得：y=6±2

3

，滿足|MN|=4

3

則l的方程為：x=0；
②設l：y=kx+5即：kx-y+5=0
∵|MN|=4

3

，圓C：（x+2）²+（y-6）²=16
∴

|-2k-6+5|

k2+1

=2
∴k=

3

4

∴l：3x-4y+20=0．
于是l：3x-4y+20=0或x=0．
（2）設Q（x，y）
∵P（0，5），C（-2，6）滿足：

PQ

⊥

CQ

，

PQ

=(x，y-5)，

CQ

=(x+2，y-6)
∴（x+2）x+（y-6）（y-5）=0，即Q的軌跡方程為：x²+y²+2x-11y+30=0．（軌跡在圓C內）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．