Question

已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線ι過P且被圓C截得的線段長為4

3

，求ι的方程；
（2）求過P點的⊙C的弦的中點軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）確定圓的圓心與半徑，分類討論，利用直線ι被圓C截得的線段長為4

3

，可得直線ι與圓心的距離為2，由此可得結論；
（2）設過P點的圓c的弦的中點D的坐標為（x，y），利用CE⊥PE，可得方程．

解答：解：（1）由圓C：x²+y²+4x-12y+24=0得圓心坐標為（-2，6），半徑為4
又因為直線ι被圓C截得的線段長為4

3

，所以直線ι與圓心的距離為2
當直線斜率存在時，設L的斜率是k，過P（0，5），設直線ι：y=kx+5，即kx-y+5=0
∵直線ι與圓C的圓心相距為2，∴d=

|-2k-6+5|

^2+1

=2，解得k=

3

4

，此時直線的方程為3x-4y+20=0
當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=0，也符合題意．
故所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0．-------------------------------（8分）
（2）設過P點的圓c的弦的中點D的坐標為（x，y），則
∵CE⊥PE，∴（x+2）•x+（y-6）•（y-5）=0
化簡得所求軌跡方程為x²+y²+2x-11y+30=0----------------------------（14分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．