Question

已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，若直線l過點P且被圓C截得的線段AB長為4

3

．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C交于A、B兩點，求以線段AB為直徑的圓Q方程．

Answer 1

分析：（I）求圓C的方程：x²+y²+4x-12y+24=0，我們可以求出圓心C的坐標和圓的半徑r，結合直線l被圓C截得的線段AB長，代入圓的弦長公式，可得弦心距d，再由點到直線距離公式，可求出直線l的斜率，由直線l過點P，可得直線的點斜式方程．解答時要注意直線l的斜率不存在時，也滿足題意．
（II）由（I）分直線l的斜率不存在時，和直線l的斜率存在時，兩種情況，分析求出圓心坐標，結合線段AB長為4

3

（圓的直徑）得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圓C的圓心C（-2，6），半徑為4．…（2分）
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4．
設D是線段AB的中點，則CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．…（4分）
設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點C到直線AB的距離公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…（7分）
此時直線l的方程為3x-4y+20=0．
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x=0．
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．…（10分）
（Ⅱ）直線l的方程為x=0時，圓心為（0，6），半徑為

1

2

|AB|=2

3

．
所以圓Q方程為x²+（y-6）²=12．…（12分）
直線l的方程為3x-4y+20=0時，AB中垂線方程為4x+3y+m=0．
又AB中垂線方程過圓C的圓心C（-2，6），
所以4×（-2）+3×6+m=0，即m=-10，
所以AB中垂線方程為4x+3y-10=0，
所以線段AB中點D（-0.8，4.4），半徑為

1

2

|AB|=2

3

．
所以圓Q方程為（x+0.8）²+（y-4.4）²=12．…（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，求直線的方程，求圓的方程，難度不大，屬于基礎題．