Question

已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線l過P且與⊙O的圓心相距為2，求l的方程；
（2）求過P點的⊙C的弦的中點軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先整理出圓C的標準方程，根據圓心到L距離看直線直線斜率不存在解得l的方程，正好符合題；當直線斜率存在時，設直線方程y-5=kx根據點到直線的距離公式，求的k，進而可得直線的方程，綜合可得答案．
（2）先求得圓心O的坐標和PO中點坐標，根據直角三角形中線的性質可知，過P點的⊙C的弦的中點軌跡是以PO中點為圓心，以

1

2

|PO|為半徑的圓，進而可得圓的方程．

解答：解：（1）整理圓的方程得（x+2）²+（y-6）²=16
圓心（-2，6），半徑=4
圓心到L距離是2
若直線斜率不存在
則是x=0，（-2，6）到x=0距離是2，成立
若斜率存在
設直線的y-5=kx
即kx-y+5=0
所以

|-2k-6+5|

k2+1

=2
平方
4k²+4k+1=4k²+4
∴k=

3

4

所以x=0或3x-4y+20=0
（2）由P（0，5），O（-2，6），PO中點坐標（-1，

11

2

）設弦中點為M，則∠PMO=90°
由此可知過P點的⊙C的弦的中點軌跡是以PO中點為圓心，以

1

2

|PO|為半徑的圓，
∵

1

2

|PO|=

1

2

22+12

=

5

2

∴過P點的⊙C的弦的中點軌跡方程為（x+1）²+（y-

11

2

）²=

5

4

，
又此方程是弦中點的軌跡方程，故應為在圓C：x²+y²+4x-12y+24=0內部的部分．

點評：本題主要考查了軌跡方程問題．題中關鍵是運用了定義法求軌跡