Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2ax+b ， 且f（1）= 、f（2）= ．
（1）求a、b的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）先判斷并證明函數f（x）在[0，+∞）上的單調性，然后求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得

解得

（2）解：∵f（x）=2x+2﹣x，f（x）的定義域為R，

由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

所以f（x）為偶函數

（3）解：f（x）在[0，+∞）上為增函數．證明如下：

設x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）

= =

因為x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）

所以 ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0

所以f（x）在[0，+∞）上為增函數．

∴f（x）≥f（0）=2

f（x）的值域為[2，+∞）

【解析】（1）由f（1）= 、f（2）= 列方程組，解這個指數方程組即可得a、b的值；（2）先求函數的解析式，在求函數的定義域，最后利用函數奇偶性的定義證明函數的奇偶性；（3）利用函數單調性的定義，通過設變量，作差比較函數值的大小證明函數的單調性，利用函數的單調性求函數的值域即可
【考點精析】掌握函數的值域和函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．