Question

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

Answer 1

若M、N是雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值

b2

a2

．證明如下：
設P（m，n）是雙曲線C′上的任意一點，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上的關于原點對稱的兩個點．
則

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 20

a2

-

y 20

b2

=1，
∴n2-

y

20

=b2(

m2

a2

-1)-b2(

x 20

a2

-1)=

b2

a2

(m2-

x

20

)．
∴k_PM•k_PN=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

=

n2- y 20

m2- x 20

=

b2

a2

為定值．