Question

已知點F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF₂是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是______．

Answer 1

根據題意，可得|AB|=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的對稱性，可知△ABF₂為等腰三角形，
只要∠AF₂B為鈍角，即|AF₁|＞|F₁F₂|即可．
∴不等式

b2

a

＞2c，化簡得c²-a²＞2ac，
兩邊都除以a²，可得e²+2e-1＞0
解之得e∈(1+

2

，+∞)，負值舍去．
故答案為：(1+

2

，+∞)