Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心為O，點E是側棱BB1上的一個動點．有下列判斷： ①直線AC與直線C1E是異面直線；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱錐E﹣AA1O的體積為定值；④AE+EC1的最小值為2 ．
其中正確的個數是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，

對于①，∵直線AC經過平面BCC1B1內的點C，而直線C1E在平面BCC1B1內不過C，∴直線AC與直線C1E是異面直線，故①正確；

對于②，當E與B重合時，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，則A1E垂直AC1，故②錯誤；

對于③，由題意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O是AC1 與A1C 的交點，則△AA1O的面積為定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距離為定值，∴三棱錐E﹣AA1O的體積為定值，故③正確；

對于④，設BE=x，則B1E=2﹣x，∴AE+EC1= ．由其幾何意義，即平面內動點（x，1）與兩定點（0，0），（2，0）距離和的最小值知，其最小值為2 ，故④正確．

∴正確命題的個數是3個．

故選：C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用棱柱的結構特征的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形．