Question

設a＞1，函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈[0，2]．
（1）若f（x）在[1，2]上不單調，求a的取值范圍；
（2）令M（a）為f（x）的最大值，求M（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，求出函數的單調區間，根據函數的單調區間得到若f（x）在[1，2]上不單調，只要極值點出現在這個區間就可以，得到1＜a＜2．
（2）根據定義的M（a）為f（x）的最大值，寫出不同區間上的表示式，根據不同區間上的表示式，寫出分段函數．

解答：解：由于f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
注意到a＞1，所以f（x）在（0，1），（a，+∞）上遞增，（1，a）上遞減．
（1）根據f（x）的單調性，若f（x）在[1，2]上不單調，則1＜a＜2；
（2）根據f（x）的單調性，下面按a與2的大小關系分類：
①當1＜a≤2時，M（a）=maxf（1），
f（2）=max{3a-1，4}=

4，1＜a≤ 5 3 3a-1 5 3 ＜a≤2.

；
②當a＞2時，M（a）=f（1）=3a-1．
綜上所述，M(a)═

4，1＜a≤ 5 3 3a-1，a＞ 5 3 .

點評：本題考查導數與函數的單調性，最值，本題解題的關鍵是看清題干中所給的a大于1的條件，寫出正確的單調區間．