Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極值，且極大值為2，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）先通過函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)設(shè)出來：.從而可設(shè)，其中為常數(shù).再由極大值為2及將求出.注意，極大值為2，即或時(shí)，函數(shù)值為2.結(jié)合正好可以將其中一種情況舍去,從而解出,于是得到函數(shù)的解析式；（2）由，列出表格，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值.有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，而，即方程與方程各只有一個(gè)解.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，發(fā)現(xiàn)方程只有當(dāng)或時(shí)才只有一個(gè)解.所以有或或，從而解得或；（3）由于存在實(shí)數(shù)，使得，也就是說，否則就不存在實(shí)數(shù)，使得.因此本題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值與最小值.根據(jù)條件可得，所以其導(dǎo)函數(shù).然后討論的范圍以得到在上單調(diào)性，從而找出最值.再通過不等式得到的取值范圍.注意當(dāng)時(shí)比較麻煩，在上先減后增，，而最大值無法確定是中的哪一個(gè)，所以我們用來表示不等式.
試題解析：（1）由條件，可設(shè)，則，其中為常數(shù).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022734648502.png" style="vertical-align:middle;" />極大值為2.所以或，即或.由得①.所以，即②.由①②可得，.所以.
（2）由（1），得，即.列表：

		-1	（-1,0）	1
	-	0	+	0	-
		極小值-2		極大值2

又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，而，
所以或或，解得或.
所以若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）由于存在實(shí)數(shù)，使得，則問題等價(jià)于.
，
，.在上，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，
，即，得.
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，
，即，得.
當(dāng)時(shí)，在上，遞減；在上，遞增.
,即.（*）
，在上遞減，.
，而，不等式（*）無解.
綜上所述，存在，使得命題成立.