Question

已知函數().
(1)當時,求函數的單調區間;
(2)當時,取得極值.
① 若,求函數在上的最小值;
② 求證:對任意,都有.

Answer 1

（1）單調增區間為和,單調減區間為 ；（2）①②詳見解析.

試題分析：(1)求導解得或, 解得；
(2)①當時,取得極值, 所以解得，對求導，判斷在,遞增,在遞減，分類討論，求出最小值；②通過求導，求出，將恒成立問題轉化為最值問題，對任意,都有.
試題解析：(1)  
當時,                  
解得或, 解得  
所以單調增區間為和,單調減區間為  
(2)①當時,取得極值, 所以 
解得(經檢驗符合題意)  
  

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

所以函數在,遞增,在遞減  
當時,在單調遞減, 
  
當時      
在單調遞減,在單調遞增,  
當時,在單調遞增,  
綜上,在上的最小值
  
②令 得(舍)  
因為 所以  
所以,對任意,都有.