Question

【題目】已知函數f（x）=x|x-a|+bx．

（1）若a=2，且f（x）是R上的增函數，求實數b的取值范圍；

（2）當b=0時，若關于x的方程f（x）=x+1有三個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b≥2（2）a＞3或者a＜-1

【解析】

（1）寫出解析式，利用單調性求解；

（2）將關于x的方程f（x）=x+1的實根個數問題轉化為的圖像的交點個數問題，再由圖象得出結論．

解：（1）當a=2，f（x）=x|x-2|+bx=，f（x）是R上的增函數，

則，，故b≥2．

（2）b=0，f（x）=x|x-a|=x+1，若x=0顯然不成立，

上式可變為|x-a|=1+，由|x-a|≥0，則1+≥0得，

分別作出的圖像，

則關于x的方程f（x）=x+1有三個實根等價于的圖像有三個交點，

又函數的圖像如圖所示：

根據圖象可知，當的圖像有三個交點時，a＞3或者a＜-1，

故a的取值范圍為a＞3或者a＜-1．