Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若直線且曲線在A處的切線與在B處的切線相互平行，求a的取值范圍；

（Ⅱ）設在其定義域內有兩個不同的極值點且若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出可得在有解，轉化為函數與的圖象在上有交點，求出相切時，利用數形結合思想可得結果；（Ⅱ）根據極值點的定義可得，作差可得， 等價于 令，則，不等式在上恒成立，討論兩種情況，分別利用導數研究函數的單調性，根據單調性可得函數最值，從而篩選符合題意的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）依題意，函數的定義域為（0， ），因為曲線在A處的切線與在B處的切線相互平行，所以有解，即方程有解.

方程有解轉化為函數的圖像在上有交點，

如圖，令過原點且與函數的圖像相切的直線的斜率為，只須

令切點為，所以

，所以

（Ⅱ）

因為在其定義域內有兩個不同的極值點，所以的兩個根，即

因為

令，則，由題意知，不等式上恒成立.

令

如果所以上單調遞增，又

上恒成立，符合題意.

如果時， 上單調遞增，在上單調遞減，又上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須.