Question

【題目】已知函數f（x）對于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且當x＞0時f（x）＞1．
（1）求證：函數f（x）在R上為增函數；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，則f（x2﹣x1）＞1

∵函數f（x）對于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立

∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，

再令m=x，n=﹣x，則有f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，

∴f（﹣x）=2﹣f（x），

∴f（﹣x1）=2﹣f（x1）

而f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴函數f（x）在R上為增函數

（2）解：∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f（1）+f（1）﹣2=3f（1）﹣2=4

∴f（1）=2．

∴f（a2+a﹣5）＜2，即為f（a2+a﹣5）＜f（1），

由（1）知，函數f（x）在R上為增函數，a2+a﹣5＜1，即a2+a﹣6＜0，

∴﹣3＜a＜2

∴不等式f（a2+a﹣5）＜2的解集是{a|﹣3＜a＜2}

【解析】（1）證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，則f（x2﹣x1）＞1，函數f（x）對于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立，令m=n=0，有f（0）=1，再令m=x，n=﹣x，結合條件得到f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），即可求得結果；（2）f（a2+a﹣5）＜2，即為f（a2+a﹣5）＜f（1），由（1）知，函數f（x）在R上為增函數，a2+a﹣5＜1，解此不等式即得．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．